Итак... допустим, у нас есть эскадрон Тибетских Монахов, которые в свободное время бурят Землю насквозь. Тогда мы получим следующую задачку по теоретической механике для детского садика!
Итааак, разделим хорду точкой О, которую я не поставил, на два равных промежутка. Отрезок АО=ОВ=а, вместе АВ=2а, логично.
Начальные условия зададим ГЫ следующим образом: t=0, x0=a. Монахи двинулись из состояния покоя, так что V0=0
Закон движения в динамике на ось ОХ имеет вид
m*(dv/dt)=E F(kx)
На чертеже видно, что на монахов действует только две силы - сила притяжения F и реакции N. Берем проекции на ось ОХ, N=0. Тогда сумма сил состоит из одного слагаемого.
m*(dv/dt)=-Fcos(alf)
Из теории притяжения выразим F
m*(dv/dt)=-(mgr/R)cos(alf)
Заменим dv/dt на v*dv/dx, тогда
mv*dv/dx=-(mgr/R)cos(alf)
Домножаем обе части на dx
mv*dv=-(mgr/R)cos(alf)*dx
Проинтегрируем сее дело
(v^2/2)*x=-(grx/R)cos(alf)+C1
Чтоб не тоскать с собой g/R заменим ее k^2, a r*cos(alf)=x тогда
(v^2/2)*x=-(k^2*(x^2/2))+C1
Выразим С1 из начальных условий
(C1/2)-k^2*a^2=0
C1=(k^2*a^2)/2
Подставим константу в уравнение, выразим скорость получим
V=-k*sqrt(a^2-x^2)
Так как Vx=dx/dt, то в полученное уравнение подставляем дифференциал вместо скорости, получим зависимость координаты от времени.
dx/dt=-k*sqrt(a^2-x^2)
Умножим обе части на dt
dx=-k*sqrt(a^2-x^2)*dt
Умножим на sqrt(a^2-x^2)
-(dx/(sqrt(a^2-x^2)))=kdt
Проинтегрируем обе части
arccos(x/a)=kt+C2
Подставим начальные условия, получим С2
arccos(а/a)=C2
С2=0
Уравнение в конечном итоге принимает вид
arccos(x/a)=kt
Выражаем х
х=(cos(kt)/a)
А ТЕПЕРЬ!!!
Нам нужно найти время...
используем наше полученное доселе уравнение
arccos(x/a)=kt
Подставим а в х, получим
-а=а*cos(kt)
Сократим а
-1=cos(kt)
Тогда получим, что kt=pi
А t=(pi/k)
Подставим sqrt(g/R) вместо k
t=(pi*sqrt(R/g))
Радиус Земли равен 6370 километров, g=9,81 кг*Н/м.
Подставим значения и получим приблизительно 42 минуты и 11 секунд.